Algebren by Max Deuring (auth.)

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Example text

Aus dieser Rangrelation folgt, daß der Ring der mit ~ elementweise vertauschbaren Größen von ~, der 58 umfaßt, nicht größer als ~. also gleich ~ ist. ~ ist irreduzibel in Af/. einbettbar und in Af/8 elementweise vertauschbar mit einer zu r isomorphen Teilalgebra F'. Sei ~ = Bq, B Divisionsalgebra. Die umgekehrte Anwendung von Satz 4 zeigt, daß F' q-fach'in Af/8' also irreduzibel in A I / 8q einbettbar ist, der mit F' elementweise vertauschbare Teilring von AI /8q ist mit B isomorph. Daher Satz 7.

Diese Gruppe kann auf 5a:A ausgedehnt werden, weil die 5a:-Elemente mit den A-Elementen vertauschbar sind; ihr Invariantenbereich in 5a:A ist 5a:z . a ist zulässiger Tellmodul wegen IX -1 aIX < a für IX cA. Nach § 1, Satz 2, wird a Erweiterungsmodul seines Durchschnittes ao mit 5a:z . ßo ist zweiseitiges Ideal von 5a:z . 2. Wenden wir Satz 2 an auf das Radikal von 5a:A , so folgt Satz 3. 5a:A ist dann und nur dann halbeinfach, wenn 5a:z halbeinfach ist. Die Anzahl der einfachen Bestandteile von 5a:A ist gleich der von 5a:z , das folgt entweder wieder mittels Satz 2 oder aus der Tatsache, daß 5a:A und 5a:z das Zentrum gemeinsam haben, dessen Zerlegung ja für die Zerlegung des ganzen Ringes in einfache Bestandteile maßgebend ist (H, § 2, Sätze 3, 4).

Alle reziproken Darstellungen von 'i8 in A sind vollständig reduzibel. ) 2. Wenn 'i8jP einfach ist, so wird 'i8A ein einfacher Ring, also'i8A = A~ Matrizesring vom Grade t in einem Schiefkörper A'. Ist r der Grad der irreduziblen Darstellung von 'i8 in A, so gilt ('i8: P) = rt. (2) Denn 'i8A ist selbst ein Darstellungsmodul vom Rang ('i8: P), der nach Satz 2 in t einfache Moduln (Linksideale) zerfällt, von denen jedes den Rang r hat. Ist A selbst (Divisions-) Algebra, so tritt zu (2) noch eine andere Beziehung für den Rang von A':.

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