Algèbre. / Tome 1, Groupes, corps et théorie de Galois by Daniel Guin; Thomas Hausberger

By Daniel Guin; Thomas Hausberger

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Montrer que si p et q sont des entiers positifs, pZ ∩ qZ = pqZ si et seulement si p et q sont premiers entre eux. En déduire que les groupes Z/pZ × Z/qZ et Z/pqZ sont isomorphes si et seulement si p et q sont premiers entres eux. 12. Généraliser cette dernière assertion en montrant que les groupes Z/p1 Z × . . × Z/pk Z et Z/p1 . . pk Z sont isomorphes si et seulement si les entiers pi , 1 i k, sont premiers entre eux deux à deux. On en déduit que pour tout nombre n ∈ N∗ dont la décomposition en facteurs premiers est n = ps11 .

On considère la tranposition τ qui échange i et j ; on montre que : – si Ωσ (k) est une σ-orbite ne contenant ni i ni j, Ωσ◦τ (k) = Ωσ (k) ; – si i et j sont dans deux σ-orbites distinctes, les termes de ces deux σ-orbites forment une seule (σ ◦ τ )-orbite ; 26 Thèmes de réflexion – si i et j sont dans la même σ-orbite, les termes de cette σ-orbite forment deux (σ ◦ τ )-orbites distinctes. ) 11. Montrer que si σ ∈ Sn est un produit de k transpositions, alors sgn(σ) = (−1)k , et que les nombres de transpositions dans deux décompositons de σ en produit de transpositions ont même parité.

Si x = (g1 , g2 ) alors ψ(x)ψ(x ) = φ1 (g1 )φ2 (g2 )φ1 (g1 )φ2 (g2 ). En utilisant (ii), on obtient donc ψ(x)ψ(x ) = φ1 (g1 )φ1 (g1 )φ2 (g2 )φ2 (g2 ) = φ1 (g1 g1 )φ2 (g2 g2 ) = ψ(xx ). Cela montre que ψ est un morphisme. Il est surjectif puisque G = H1 H2 . Si φ1 (g1 )φ2 (g2 ) = 1G , alors φ1 (g1 ) = φ2 (g2 )−1 ∈ H1 ∩ H2 , donc φ1 (g1 ) = φ2 (g2 ) = 1G . On en déduit g1 = 1G1 et g2 = 1G2 , puis x = 1G1 ×G2 , ce qui montre l’injectivité. Par conséquent, ψ est un isomorphisme de G1 × G2 sur G. 21 Chapitre I.

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