Algèbre 2 [Lecture notes] by Olivier Debarre

By Olivier Debarre

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Œuvres complètes, Series 2

Augustin-Louis, Baron Cauchy (1789-1857) was once the pre-eminent French mathematician of the 19th century. He started his profession as an army engineer in the course of the Napoleonic Wars, yet even then was once publishing major mathematical papers, and was once persuaded through Lagrange and Laplace to dedicate himself solely to arithmetic.

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34. — Soient K → L et L → M des extensions de corps. On a TrM/K = TrL/K ◦ TrM/L . Démonstration. — On garde les notations de la preuve du th. 5 : (l1 , . . , lr ) est une base du K-espace vectoriel L et soit (m1 , . . , ms ) une base du L-espace vectoriel M , de sorte que (li mj )1 i r, 1 j s est une base du K-espace vectoriel M . Soit x ∈ M . On écrit s xmj = bjk mk , k=1 avec bjk ∈ L, de sorte que xli mj = s k=1 bjk li mk . On écrit ensuite r bjk li = ajkin ln , n=1 s k=1 avec ajkin ∈ L, de sorte que xli mj = r n=1 ajkin ln mk .

H G a) Montrer Fp = Fp = Fp . b) Montrer que pour tout entier n 1, le corps Fp contient un unique sous-corps de cardinal pn (que l’on notera Fpn ) et que Fp = n 1 Fpn . c) Montrer que K := n 1 Fp2n est un sous-corps propre de Fp (Indication : on pourra utiliser l’exerc. 31). c) Montrer que le groupe H := Gal(Fp /K) n’est pas trivial (Indication : on pourra utiliser la rem. 24). d) Montrer H ⊆ H, donc H = G. En particulier, H n’est pas le groupe de Galois d’une extension L ⊆ Fp . 8. 2. Constructibilité à la règle et au compas, polynômes cyclotomiques.

2). 4. Théorème de l’élément primitif. — On a rencontré à plusieurs reprises l’extension Q ⊆ Q( 3 2, j). Peut-on engendrer cette extension par un seul élément (on dit que l’extension est simple) ? La réponse est √ √ 3 3 oui : on a Q( 2, j) = Q( 2 + j) (cf. exerc. 19). En revanche, en caractéristique non nulle, il existe des extensions finies non simples. Il se trouve que cette propriété d’une extension finie (d’être engendrée par un élément) est liée à sa séparabilité. 22. — Soit p un nombre premier.

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