12 x 12 Schlüsselkonzepte zur Mathematik by Oliver Deiser, Caroline Lasser, Elmar Vogt, Dirk Werner

By Oliver Deiser, Caroline Lasser, Elmar Vogt, Dirk Werner

Wie ist ein Ring definiert, wann kann guy Grenzprozesse vertauschen, was once sind lineare Ordnungen und wozu ben?tigt guy das Zornsche Lemma in der Linearen Algebra? Das Buch will seinen Lesern helfen, sich in der F?lle der grundlegenden mathematischen Definitionen zurecht zu finden und exemplarische mathematische Ergebnisse einordnen und ihre Eigenheiten verstehen zu k?nnen. Es behandelt hierzu je zw?lf Schl?sselkonzepte der folgenden zw?lf Themengebiete der Mathematik: Grundlagen, Zahlen, Zahlentheorie, Diskrete Mathematik, Lineare Algebra, Algebra, Elementare research, H?here research, Topologie und Geometrie, Numerik, Stochastik und Mengenlehre und Logik.  Ein besonderes Augenmerk liegt auf einer knappen und pr?zisen, dabei aber nicht zu formalen Darstellung. Dadurch erlauben die einzelnen Beitr?ge ein fokussiertes Nachlesen ebenso wie ein neugieriges Kennenlernen. Das Buch ist geschrieben f?r Studierende der Mathematik ab dem ersten Semester und m?chte ein treuer Begleiter und eine zuverl?ssige Orientierungshilfe f?r das gesamte Studium sein.

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Zu diesen ordnungstheoretischen Gesichtpunkten ” gesellt sich der arithmetische Charakter der Punkte, denn wir wollen mit den Punkten eines Kontinuums rechnen und messen. Die Mathematik hat die Aufgabe der Konstruktion eines arithmetischen ost, die den Kontinuums durch eine Erweiterung der rationalen Zahlen Q gel¨ Zahlk¨ orper R der reellen Zahlen erzeugt. Wie f¨ ur die Schritte von N nach Z und asst sich die Erweiterung von Q nach R als die bis auf Isomorvon Z nach Q l¨ phie eindeutige Behebung eines gewissen Mangels ansehen, die nicht mehr neue Zahlen hinzuf¨ ugt als zur Behebung des Mangels notwendig sind.

Die Elemente von Q heißen rationale Zahlen. Wir definieren analog zu oben: −(a/b) = (−a)/b (additive Inversenbildung), (a/b)−1 = b/a, falls a = 0 (multiplikative Inversenbildung), a/b + c/d = (ad + cb)/(bd) (Addition), a/b − c/d = a/b + (−c/d) (Subtraktion), a/b · c/d = (ac)/(bd) (Multiplikation), (a/b)/(c/d) = (a/b) · (c/d)−1 , falls c = 0 (Division), a/b < c/d, falls abd2 < cdb2 (Ordnung). 3), und < ist eine Die Struktur (Q, +, ·) ist ein K¨ lineare Ordnung auf Q. Wir k¨ onnen wieder Z ⊆ Q erreichen, indem wir a ∈ Z mit a/1 ∈ Q identifizieren.

Hat man eine Aquivalenzrelation ∼ auf A eingef¨ uhrt, so werden h¨ aufig neue ¨ Objekte f (a/∼) auf den Aquivalenzklassen a/∼ eingef¨ uhrt. Zur Definition von f (a/∼) wird aber oft nur a und nicht a/∼ verwendet. Bei diesem Vorgehen ist dann die Wohldefiniertheit oder die Unabh¨ angigkeit von der Wahl der Repr¨ asentanten zu zeigen. 10 Partielle und lineare Ordnungen 21 durchgef¨ uhrte Definition von f (a/∼) mit der mit b durchgef¨ uhrten Definition von f (b/∼) u ¨berein. Kurz: Man zeigt, dass f (a/∼) = f (b/∼) gilt.

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